高等数学(同济版)下册期末考试题及答案套

返回 相似 举报
高等数学(同济版)下册期末考试题及答案套_第1页
第1页 / 共19页
高等数学(同济版)下册期末考试题及答案套_第2页
第2页 / 共19页
高等数学(同济版)下册期末考试题及答案套_第3页
第3页 / 共19页
高等数学(同济版)下册期末考试题及答案套_第4页
第4页 / 共19页
高等数学(同济版)下册期末考试题及答案套_第5页
第5页 / 共19页
点击查看更多>>
资源描述:
1 / 19 高等数学(下册)期末考试试卷(一)高等数学(下册)期末考试试卷(一) 一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分) 1、 的定义域为 D 。z0 log 22 ayx a 2、二重积分的符号为 。    1|||| 22 ln yx dxdyyx 3、由曲线及直线,所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 xyln1eyx1y 。 4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 。,          x ty tx ds 5、设曲面∑为介于及间的部分的外侧,则 。9 22  yx0z3z   dsyx 1 22 ( 6、微分方程的通解为 。 x y x y dx dy tan 7、方程的通解为 。04 4 yy 8、级数的和为 。     1 1 1 n nn 二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 1、二元函数在处可微的充分条件是( ),yxfz , 00 yx (A)在处连续;,yxf, 00 yx (B),在的某邻域内存在;,yxfx,yxfy, 00 yx (C) 当时,是无穷小;yyxfxyxfz yx ,, 0000 0 22 yx (D)。0 ,, lim 22 0000 0 0      yx yyxfxyxfz yx y x 2、设其中具有二阶连续导数,则等于( ), x y xf y x yfuf 2 2 2 2 y u y x u x      (A); (B); C; D0 。yx xy 3、设则三重积分等于( ), 0, 1 222 zzyx   zdVI (A)4;(B);  2 0 2 0 1 0 3 cossin  drrdd  2 00 1 0 2 sin   drrdd 2 / 19 (C);(D)。     2 0 2 0 1 0 3 cossindrrdd    2 00 1 0 3 cossindrrdd 4、球面与柱面所围成的立体体积 V( ) 2222 4azyxaxyx2 22  (A); (B);   2 0 cos2 0 22 44    a drrad   2 0 cos2 0 22 44    a drrard (C); (D)。   2 0 cos2 0 22 48    a drrard    2 2 cos2 0 22 4     a drrard 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成,L 取正向,函数在 D 上具有一阶连续偏导数,,,,yxQyxP 则 L QdyPdx (A); (B);       D dxdy x Q y P       D dxdy x P y Q (C); (D)。       D dxdy y Q x P       D dxdy y P x Q 6、下列说法中错误的是( ) (A)方程是三阶微分方程;02 2    yxyyx (B)方程是一阶微分方程;xy dx dy x dx dy ysin (C)方程是全微分方程;032 22232 dyyxydxxyx (D)方程是伯努利方程。 x y x dx dy2 2 1  7、已知曲线经过原点,且在原点处的切线与直线平行,而 满足微分方程xyy 062 yxxy ,则曲线的方程为( )052 yyyy (A); (B);xe x 2sin2cos2sinxxe x  (C); (D)。2sin2cosxxe x xe x 2sin 8、设 , 则( )0lim  n n nu   1n n u (A)收敛; (B)发散; (C)不一定; (D)绝对收敛。 三、求解下列问题(共计 15 分) 1、 (7 分)设均为连续可微函数。,gf ,,,xyxgvxyxfu 3 / 19 求。 y u x u     , 2、 (8 分)设,求。     tx tx dzzftxu, t u x u     , 四、求解下列问题(共计 15 分) 。 1、计算。 (7 分)I   2 0 2 2 x y dyedx 2、计算,其中是由所围成的空间闭区域(8 分)   dVyxI 22 x21,2 22 zzzy及 五、 (13 分)计算,其中 L 是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的     L yx ydxxdy I 22 xoy0 , 0O 封闭曲线的逆时针方向。 六、 (9 分)设对任意满足方程,且存在,求。,,xfyx 1 yfxf yfxf yxf   0 f  xf 七、 (8 分)求级数的收敛区间。        1 12 12 2 1 n n n n x 高等数学(下册)期末考试试卷(二)高等数学(下册)期末考试试卷(二) 1、设,则 。zyxzyx3232sin2      y z x z 2、 。    xy xy y x 93 lim 0 0 3、设,交换积分次序后, 。   2 0 2 , x x dyyxfdxII 4、设为可微函数,且则 。 uf, 00f      222 1 lim 22 3 0 tyx t dyxf t   5、设 L 为取正向的圆周,则曲线积分4 22  yx 。   L xx dyxyedxyey2 1 6、设,则 。  kxyzjxzyiyzxA 222 Adiv 7、通解为的微分方程是 。 xx ececy 2 21   8、设,则它的 Fourier 展开式中的 。         x x xf 0, 1 0, 1  n a 4 / 19 二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 。 1、设函数 ,则在点(0,0)处( )         0, 0 0, , 22 22 42 2 yx yx yx xy yxf (A)连续且偏导数存在; (B)连续但偏导数不存在; (C)不连续但偏导数存在; (D)不连续且偏导数不存在。 2、设在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数,且满足,yxu 及 ,0 2    yx u    2 2 x u 0 2 2    y u 则( ) (A)最大值点和最小值点必定都在 D 的内部; (B)最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上; (C)最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上; (D)最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上。 3、设平面区域 D,若,1 12 22 yx   D dyxI 2 1   D dyxI 3 2 则有( ) (A); (B) ; (C); (D)不能比较。 21 II  21 II  21 II  4、设是由曲面及 所围成的空间区域,则 ( )1,,xxyxyz0z   dxdydzzxy 32 (A); (B); (C) ; (D)。 361 1 362 1 363 1 364 1 5、设在曲线弧 L 上有定义且连续,L 的参数方程为 ,其中在,yxf      ty tx    t,tt 上具有一阶连续导数,且, 则曲线积分( )],[0 22 tt   L dsyxf, A ; B ;    dtttf,     dtttttf, 22 C ; D。     dtttttf, 22    dtttf, 6、设是取外侧的单位球面, 则曲面积分1 222 zyx ( )   zdxdyydzdxxdydz A 0 ; B ; C ; D。24 7、下列方程中,设是它的解,可以推知也是它的解的方程是( ) 21, y y 21 yy  A ; B ;0xqyxpy0 yxqyxpy 5 / 19 C ; D 。xfyxqyxpy 0 xqyxpy 8、设级数为一交错级数,则( )   1n n a A该级数必收敛; B该级数必发散; C该级数可能收敛也可能发散; D若,则必收敛。00nan 三、求解下列问题(共计 15 分) 1、 (8 分)求函数在点 A(0,1,0)沿 A 指向点 B(3,-2,2)ln 22 zyxu 的方向的方向导数。 2、 (7 分)求函数在由直线所围成的闭区域 D 上的最大4, 2 yxyxyxf0, 0, 6xyyx 值和最小值。 四、求解下列问题(共计 15 分) 1、 (7 分)计算,其中是由及 所围成的立体     3 1 zyx dv I0, 0, 0zyx1zyx 域。 2、 (8 分)设为连续函数,定义,xf   dvyxfztF][ 222 其中,求。 222 ,0| ,,tyxhzzyx dt dF 五、求解下列问题(15 分) 1、 (8 分)求,其中 L 是从 A(a,0)经到   L xx dymyedxmyyeIcossin 2 xaxy O(0,0)的弧。 2、 (7 分)计算,其中是 的外侧。   dxdyzdzdxydydzxI 222 0 222 azzyx 六、 (15 分)设函数具有连续的二阶导数,并使曲线积分x 与路径无关,求函数。   L x dyxydxxexx]23[ 2 x 高等数学(下册)期末考试试卷(三)高等数学(下册)期末考试试卷(三) 一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分) 1、设, 则 。   yz xz t dteu 2    z u 2、函数在点(0,0)处沿的方向导数2sin,yxxyyxf2 , 1 l 6 / 19 。 0, 0 l f   3、设为曲面所围成的立体,如果将三重积分化为先对再0,1 22 zyxz   dvzyxfI,,z 对最后对三次积分,则 I 。yx 4、设为连续函数,则 ,其中。,yxfI     D t dyxf t   , 1 lim 2 0 222 tyxD 5、 ,其中。   L dsyx 22222 ayxL 6、设是一空间有界区域,其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数,,,zyxP ,在上具有一阶连续偏导数,则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式 ,,zyxQ,,zyxR , 该关系式称为 公式。 7、微分方程的特解可设为 。 9696 2  xxyyy * y 8、若级数发散,则 。      1 1 1 n p n n p 二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 1、设存在,则( ),bafx x bxafbaxf x ,, lim 0   (A);(B)0;(C)2;(D)。,bafx,bafx 2 1 ,bafx 2、设,结论正确的是( ) 2 y xz  (A); (B);0 22       xy z yx z 0 22       xy z yx z (C); (D)。0 22       xy z yx z 0 22       xy z yx z 3、若为关于的奇函数,积分域 D 关于轴对称,对称部分记为,在 D 上连续,,yxfxy 21,D D,yxf 则( )   D dyxf, (A)0;(B)2;(C)4; D2。  1 , D dyxf  1 , D dyxf  2 , D dyxf 4、设,则( ) 2222 Rzyx   dxdydzyx 22 (A); (B); (C); (D)。 5 3 8 R 5 3 4 R 5 15 8 R 5 15 16 R 5、设在面内有一分布着质量的曲线 L,在点处的线密度为,则曲线弧L的重心的坐标xoy,yx,yxx 7 / 19 为( )x (A); (B); x L dsyxx M , 1 x L dxyxx M , 1  (C); (D), 其中 M 为曲线弧L的质量。x L dsyxx,x L xds M 1 6、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧,则 曲面积分1 22  yx1, 0, 0zyx =( )   ydxdzxxzdydzzdxdyy 22 (A)0; (B); (C); (D)。 4   24 5 4  7、方程的特解可设为( )2xfyy  (A),若; (B),若;A1xf x Ae x exf (C),若;EDxCxBxAx 234 xxxf2 2  (D),若。5cos5sinxBxAxxxf5sin 8、设,则它的 Fourier 展开式中的等于( )         x x xf 01 0, 1 n a (A); (B)0; (C); (D)。] 11 [ 2 n n  n 1 n 4 三、 (12分)设为由方程 确定的的函数,其中具有一阶连续偏ttxfy,,0,,tyxFyx,Ff , 导数,求。 dx dy 四、 (8分)在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短。44 22 yx0632 yx 五、 (8分)求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积A。yyx2 22  22 yxz0z 六、 (12分)计算,其中为球面 的部分   xyzdxdyI1 222 zyx0, 0yx 的外侧。 七、 (10 分)设,求。x xd xdf 2 sin1 cos cos xf 八、 (10 分)将函数展开成的幂级数。1ln 32 xxxxfx 8 / 19 高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案 一、1、当时,;当时,;10 a10 22 yx1a1 22  yx 2、负号; 3、; 4、; 2 3 ; 11 0    D ye ey dxdyddttt 22  5、180; 6、;Cx x y sin 7、; 8、1; xx eCeCxCxCy 2 4 2 321 2sin2cos   二、1、D; 2、D; 3、C; 4、B; 5、D; 6、B; 7、A; 8、C; 三、1、;; 21 f yf x u    xyxgx y u    2、;;txftxf x u    txftxf t u    四、1、;1 2 1 4 2 0 2 00 22 0 222    edyyedxedydyedx y y y x y 2、;     2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 1 3 2 2 3 3 14 2 r dzrdrddzrdrdI 柱面坐标 五、令则,; 2222 , yx x Q yx y P     x Q yx xy y P         222 22 0 , 0,yx 于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O(0,0)时,在 D 内连续。所以由 Green 公式得I0;②当 x Q y P     , L 所围成的区域 D 中含 O(0,0)时,在 D 内除 O(0,0)外都连续,此时作曲线为 x Q y P     ,  l ,逆时针方向,并假设为及所围成区域,则 10 222 yx * D  L  l   2 222*            yxD llLllL dxdy y P x Q GreenI公式 六、由所给条件易得 00 01 02 0 2   f f f f 又 x xfxxf xf x     lim 0 x xf xfxf xfxf x      1 lim 0 9 / 19 x fxf xfxf xf x        0 1 1 lim 2 0 ]1[0 2 xff 即 0 1 2 f xf xf    即 cxfxf0arctan]0tan[cxfxf 又 即 00fZkkc,0tanxfxf 七、令,考虑级数tx 2       1 12 12 1 n n n n t  2 12 32 12 32 limt n t n t n n n       当即时,亦即时所给级数绝对收敛;1 2 t1t31 x 当即或时,原级数发散;1t3x1x 当即时,级数收敛;1t1x       1 1 12 1 1 n n n 当即时,级数收敛;1t3x      1 12 1 1 n n n 级数的半径为 R1,收敛区间为[1,3]。 高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案 一、1、1; 2、-1/6; 3、 ; 4、;   2 02/ 4 2 2 2/ ,, y yy dxyxfdydxyxfdy0 3 2 f  5、; 6、; 7、; 8、0;82zyx02 yyy 二、1、C; 2、B; 3、A; 4、D; 5、C; 6、D; 7、B; 8、C; 三、1、函数在点 A(1,0,1)处可微,且ln 22 zyxu 10 / 19 ; 1 , 0, 1 22 1 zyx x u A     2/1 ;0 1 1 , 0, 1 2222        zy y zyx y u A 2/1 1 1 , 0, 1 2222        zy z zyx z u A 而所以,故在 A 点沿方向导数为,1 , 2, 2  ABl 3 1 , 3 2 , 3 2   lABl     A l u A x u   cos A y u   cos A z u   cos . 2 /1 3 1 2 1 3 2 0 3 2 2 1  2、由得 D 内的驻点为且,        024 0 142 2 yxxf xyyxxyf y x ,1 , 2 0 M4 1 , 2f 又0 0 , , 0, 0xfyf 而当时,0, 0, 6yxyx60122, 23 xxxyxf 令得0122 23 xx4, 0 21 xx 于是相应且2, 6 21 yy.642 , 4, 06 , 0ff 在 D 上的最大值为,最小值为,yxf4 1 , 2f.642 , 4f 四、1、的联立不等式组为          yxz xy x 10 10 10 所以     1 0 1 0 1 0 3 1 xyx zyx dz dydxI      x dy yx dx 1 0 2 1 0 ] 4 1 1 1 [ 2 1       1 0 16 5 2ln 2 1 4 3 1 1 2 1 dx x x 2、在柱面坐标系中     2 000 22 ][ th rdzrfzdrdtF   t drrhrrhf 0 32 ] 3 1 [2 11 / 19 所以 ] 3 1 [2 32 thtthf dt dF ] 3 1 [2 22 htfht 五、1、连接,由公式得  OAGreen   OAOAL I   OAOAL    0, 22 0coscos yaxyx xx Green dxdymyeye 公式 2 8 1 am 2、作辅助曲面 ,上侧,则由 Gauss 公式得       222 1 ayx az   I  1    1    11    azzyxayx dxdyadxdydzzyx 0, 2 222222 2    a zyx azdxdydz 0 4 222 2 4 0 43 2 1 2aadzz a   六、由题意得23 2 xxexx x   即 x xexxx 2 23  特征方程,特征根023 2  rr2, 1 21 rr 对应齐次方程的通解为 xx ececy 2 21  又因为是特征根。故其特解可设为2 x eBAxxy 2*  代入方程并整理得1, 2 1 BA 即 x exxy 2* 2 2 1  故所求函数为 xxx exxececx 22 21 2 2 1  高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案 12 / 19 一、1、; 2、; 3、; 2222 zxzy xeye5     1 1 1 1 1 0 2 2 22 ,, x x yx dzzyxfdydx 4、; 6、, 3 25;0 , 0af、             RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P 公式; 7、 8、。GaussCBxAx 2 0P 二、1、C; 2、B; 3、A ; 4、C ; 5、A ; 6、D ; 7、B ; 8、B 三、由于,dttxfdxtxfdy tx ,,0dtFdyFdxF tyx 由上两式消去,即得 dt ytt xttx FfF FfFf dx dy      四、设为椭圆上任一点,则该点到直线的距离为,yx44 22 yx0632 yx ;令,于是由 13 326yx d  44326 222 yxyxL         044 083266 023264 22 yxL yyxL xyxL y x    得条件驻点 5 3 , 5 8 , 5 3 , 5 8 , 5 3 , 5 8 , 5 3 , 3 8 4321 MMMM 依题意,椭圆到直线一定有最短距离存在,其中即为所求。 13 13 13 326 1 min    M yx d 五、曲线在面上的        yyx yxz 2 22 22 yoz 投影为      0 02 2 x zyyz 于是所割下部分在面上的投影域为yoz ,        yz y Dyz 20 20 y 由图形的对称性,所求面积为第一卦限部分的两倍。 d z x y x A yz D        22 12x       yz D y yy dz dy yy dydz 2 1 2 022 8 2 2 2 2 13 / 19 六、将分为上半部分和下半部分, 22 1 1yxz 22 2 1yxz 在面上的投影域都为 21, xoy, 0, 0, 1 22 yxyxDxy 于是    1 22 1dxdyyxxyzdxdy xy D ; 15 1 1cossin 2 0 1 0 22     dd 极坐标 ,    2 15 1 1 22 dxdyyxxyxyzdxdy xy D    21 I 15 2 七、因为,即x xd xdf 2 sin1 cos cos xxf 2 sin1cos 所以 2 2xxfcxxxf 3 3 1 2 八、1ln1ln]11ln[ 22 xxxxxf 又] 1 , 1, 1 1ln 1 1        uu n u n n n             11 2 11 ] 1 , 1, 1 1 nn n n n n xx n x n xf        1 1 ] 1 , 1,1 1 n nn n xxx n 高等数学(下册)期末考试试卷(四)高等数学(下册)期末考试试卷(四) 14 / 19 一、填空题(本题共本题共 5 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 20 分,分,把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量、满足,,,则 .a  b  0ab   2a   2b   a b   2、设,则 . lnzxxy 3 2 z x y     3、曲面在点处的切平面方程为 . 22 9xyz1, 2, 4 4、设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,则的傅里叶 f x2[,  f xx f x 级数 在处收敛于 ,在处收敛于 .3x x 5、设为连接与两点的直线段,则 .L1, 00,1 L xy ds  ※※以下各题在答题纸上作答以下各题在答题纸上作答,,答题时必须写出详细的解答过程答题时必须写出详细的解答过程,,并在每张答题纸写上并在每张答题纸写上姓名姓名、、 学号、班级.学号、班级. 二、解下列各题(本题共本题共 5 小题,每小题小题,每小题 7 分,满分分,满分 35 分分) 1、求曲线在点处的切线及法平面方程. 222 222 239 3 xyz zxy      0 M 1, 1,2 2、求由曲面及所围成的立体体积. 22 22zxy 22 6zxy 3、判定级数是否收敛如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛 1 1 1 ln n n n n      4、设,其中具有二阶连续偏导数,求.,sin x zf xyy y f 2 , zz xx y    5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶, dS z    2222 xyza0zhha 部. 三、(本题满分(本题满分 9 9 分分)) 抛物面被平面截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值 22 zxy1xyz 与最小值. 四、四、(本题满分(本题满分 1010 分)分) 计算曲线积分,sincos xx L eym dxeymx dy  其中为常数,为由点至原点的上半圆周.mL ,0A a0,0O 22 0xyaxa 五、(本题满分(本题满分 1010 分)分) 15 / 19 求幂级数的收敛域及和函数. 13 n n n x n     六、((本题满分 10 分)) 计算曲面积分, 332 2231Ix dydzy dzdxzdxdy    其中为曲面的上侧. 22 10zxyz  七、(本题满分(本题满分 6 6 分)分) 设为连续函数,,,其中是由曲面 f x0fa 222 [] t F tzf xyzdv    t  与所围成的闭区域,求 . 22 zxy 222 ztxy 3 0 lim t F t t   -------------------------------------------------------------------------- 备注①考试时间为 2 小时; ②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。 高等数学 A下册期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月 一、填空题【【每小题每小题 4 分,共分,共 20 分分】】 1、; 2、、;3、; 4、3,0; 4 2 1 y 2414xyz 5、.2 二、试解下列各题【每小题每小题 7 分,共分,共 35 分分】 1、解方程两边对求导,得, 从而,x 32 3 dydz yzx dxdx dydz yzx dxdx            5 4 dyx dxy   16 / 19 【4】 7 4 dzx dxz  该曲线在处的切向量为【5】1, 1,2 5 71 1,, 8,10,7. 4 88 T    故所求的切线方程为【6】 112 8107 xyz  法平面方程为 即 【7】81101720 xyz810712xyz 2、解,该立体在面上的投影区域为 22 22 22 6 zxy zxy      22 2xyxOy .【2】 22 2 xy Dxy 故所求的体积 为【7】Vdv   2 2 2262 2 0020 2636dddzd        3、解由,知级数发 11 limlim ln1limln110 n n nnn n un nn    1 n n u    散【3】 又,.故所给级数收敛且条件收 1 11 || ln1ln1 || 1 nn uu nn    1 lim|| limln10 n nn u n   敛. 【7】 4、解, 【3】 1212 11 0 z fyfyff xyy     2 1111222122 222 11 [][] zxx fy fxfffxf x yyyyy       【7】 111222 23 1 . x fxyfff yy  5、解的方程为,在面上的投影区域为 222 zaxyxOy . 2222 { , |} xy Dx yxyah 又,【33】 22222 1 xy zzaaxy 17 / 19 故 22 2 22222 00 xy ah D dSadxdyd ad zaxya           【7】 22 22 0 1 2ln2ln 2 ah a aaa h       三、 【9 分分】解设为该椭圆上的任一点,则点到原点的距离 , , M x y zM 为【1】 222 dxyz 令, 22222 , , 1L x y zxyzzxyxyz 则由,解得,.于是得到两个可能极值点 22 220 220 20 1 x y z Lxx Lyy Lz zxy xyz                13 2 xy   23z  【7】 12 13131313 ,,23,,,23. 2222 MM       又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得. 故 【9】 max2min1 ||95 3,||95 3.dOMdOM 四、【10 分分】 解记与直线段所围成的闭区域为,则由格林公式,得LOAD .【5】 2 2 sincos 8 xx DL OA Ieym dxeymx dymdma       A 而【8】 1 0 sincos a xx OA Ieym dxeymx dymdxma     2 21 sincos. 8 xx L eym dxeymx dyIImama   
展开阅读全文

电脑版 |技术文库版权所有
经营许可证:粤ICP备16048919号-1 | 粤公网安备 44060602000677号