2.3.2+平面平面垂直的判定+教案

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资源描述:
求证直线MF平面ABCD;(2)求证平面AFC1平面ACC1A1;(3)求平面AFC,且DAB60,ADAA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.图14(1)PD,MN平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形1与平面ABCD所成二面角的大小.(1)证明延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.F又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNAQ,MNCD.又MN面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA45.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.(3)由(2)知,CD平是BB1的中点,F为C1N的中点,B为CN的中点.又M是线段AC1的中点,故MFAN.(2)PA平面ABCD,PACD.又CDAD,PAADA,CD平面PAD.AMNQ是平行四边形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.3所示,(1)取PD的中点Q,连接AQ、NQ,则QNDC,AMDC,QNAM.四边形又MF平面ABCD,AN平面ABCD,MF平面ABCD.(2)证明连接BD,由直四N平面PDC. 图12 图13证明如图1(1)求证MN平面PAD;(2)求证MNCD;(3)若二面角PDCA45,求证M为.变式训练 如图12,PA矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.棱柱ABCDA1B1C1D1,可知AA1平面ABCD,又BD平面ABCD,A1ABD.tAEF中,AE,AF,sinAFE,cosAFE.二面角APBD的余弦值,AEPB.PB平面AEF,PBEF.AFE为二面角APBD的平面角.在R.点A到平面PBD的距离为.(3)解作AFPB于点F,连接EF,AE平面PBD四边形ABCD为菱形,ACBD.又ACA1AA,AC、A1A平面ACC1A1,BD的距离.在PAO中,PA2,AO2cos30,PAO90,PO,AE2解作AEPO于点E,平面PBD平面PAC,AE平面PBD.AE为点A到平面PD.又PAACA,BD平面PAC.又BD平面PBD,平面PBD平面PAC.BD平面ACC1A1.在四边形DANB中,DABN且DABN,四边形DANB为平O,底面ABCD是菱形,BDAC.PA底面ABCD,BD平面ABCD,的PAB到平面PBD的距离;(3)求二面角APBD的余弦值.(1)证明设AC与BD交于点O,连接PAAD2,BAD60.图11(1)求证平面PBD平面PAC;(2)求点A行四边形.故NABD,NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1,平面AFC1平面角.这一过程要求学生熟记.思路2例1 如图11,ABCD是菱形,PA平面ABCD,P的垂线,垂足为O,然后通过垂足O作棱AB的垂线,垂足为E,连接AE,则CEO为二面角-AB-的二面角是本节的另一个重点,作二面角的平面角最常用的方法是在一个半平面内找一点C,作另一个半平面平面ACC1A1.(3)解由(2),知BD平面ACC1A1,又AC1平面ACC1A1,BDCO.CODO,sinCDO.CDO30,即DC与成30角.点评为二面角AB的平面角,即CEO45.设CDa,则CE,COOE,OCOE,为DC与所成的角.图10过点O作OEAB于E,连接CE,则CEAB.CEOAC1.BDNA,AC1NA.又由BDAC,可知NAAC,C1AC就是DB45.求CD与平面所成的角.解如图10,作CO交于点O,连接DO,则CDO m时人升高约4.3 m.变式训练 已知二面角AB等于45,CD,DAB,C由此,得EGEFsin60CEsin30sin60104.3(m).答沿直道行走到10平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.在RtC1AC中,tanC1AC,故 则FGAB,即EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角, EFG60,线段EG的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作EFAB,垂足为F,并连接FG, 图9解取CD上一点E,设CE10 m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则水平线AB的夹角为30,沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少(精确到0.1 m)C1AC30.平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30或150.变式训练 面的垂线.例2 如图9所示,河堤斜面与水平面所成二面角为60,堤面上有一条直道CD,它与堤角的Ca,则CE,OE,cosOEC.点评欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平BDA的平面角.同(1)可证OC平面ABD.OCOE.COE为直角三角形.设B 如图15所示,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC底面ABCD,且AB2,CD为正三角形,CEBD.又BOD为等腰直角三角形,OEBD.OEC为二面角CABD.平面ABD平面ABC.(2)解取BD的中点E,连接CE、OE、OC,BOBOC.O是ABC的外心,即AB的中点.OAB,即O平面ABD.OD平面SCSD2.图15(1)求证平面SAD平面SBC;(2)设BCx,BD与平DA的余弦值.(1)证明由题设,知ADCDBD,作DO平面ABC,O为垂足,则OABD的位置,使CDAC,图8(1)求证平面ABD平面ABC;(2)求二面角CBC,平面PAC平面PBC.变式训练 如图8,把等腰RtABC沿斜边AB旋转至A面SBC所成的角为,求sin的取值范围.(1)证明在SDC中,SCSD,CDABC.又PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线,BC平面PAC.BC平面PB,BC,PABC.C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是O的直径,BCA意一点.图7求证平面PAC平面PBC.证明设O所在平面为,由已知条件,PA2,DSC90,即DSSC.底面ABCD是矩形,BCCD.又平面SDC思路1例1 如图7,O在平面内,AB是O的直径,PA,C为圆周上不同于A、B的任直的判定定理难点在于在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.应用示例二面角CD的平面角.又ABBE,即二面角CD是直二面角,.应用面面垂平面ABCD,BC面SDC.DSBC.DS平面SBC.DS平面SAD,平面要研究两个平面所成的角.修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此,我们引入二面角的概念,研究两个平面所成的角.思路2.直接导入 前边举过门和墙所在平面的关系,随着门的开启,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,怎样描述这种变化呢今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题二面角的有关概念、画法及表示方法.二面角的平面角的概念.两个平面垂直的定义.用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理,并给出证明.应用面面垂直的判定定理难点在哪图形表示如图1.图1导入新课思路1.情境导入 为了解决实际问题,人们需里讨论结果二面角的有关概念.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法如图2(教师和学生共同动手).直立式 平卧式 1 2图2 二面角的表示方法如图3中,棱为AB,面(2)如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交若AB,则与相交.两平面平行与相交的为、的二面角,记作二面角-AB-.有时为了方便也可在、内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l,则这个二面角记作l或PlQ.二面角的平面角的概念. 如图4,在二面角l的棱上任取点O,以O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB组成AOB.图4 再取棱上另一点O,在和内分别作l的垂线OA和OB,则它们组成角AOB. 因为OAOA,OBOB,所以AOB及AOB的两边分别平行且方向相同, 两平面的位置关系(1)如果两个平面没有公共点,则两平面平行若,则.即AOBAOB. 从上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小,与角的顶点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.直二面角的定义. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的角的作法,面面垂直的判定教学难点二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定教学过程复习墙面与地面,一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似,也是用它们所成的角为直角来定义,二面角既可以为锐角,也可以为钝角,特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法如图5.图5两个平面垂直的判定定理. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为. 两个平面垂直的判定定理图形3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直。教学重点二面角的概念和二面角的平面表述为如图6.图6证明如下已知AB,ABB,AB.求证.分析要证,需证和构成的二面角是直二面角,而要证明一个二面角是直二面角,需找到其中一个平面角,并证明这个二面角的平面角是直角.证明设CD,则由AB,知AB、CD共面.AB,CD,ABCD,垂足为点B.在平面内过点B作直线BECD,则ABE是SAD平面SBC.(2)解由(1),知DS平面SBC,SB是DB在平面SBC上的射影.的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角ACBDDBS就是BD与平面SBC所成的角,即DBS.那么sin.BCx,CD2DB,sin.由0 x,得0sin.达标检测1、把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B,如图,则互相垂直的平面有几对2、如图、已知,图中那些平面互相垂直,为什么3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中证明平面A1BD平面ACC1A1高考资源网() 2.3.2 平面与平面垂直的判定教学目标1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中 您身边的高考专家课堂小结知识总结利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题.作业 课本习题2.3 A组1、2、3.- 12 - 版权所有高考资源网
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