第2章_分析动力学基础与运动方程建立

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资源描述:
变分方法, 实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分 原理,就是运动的Lagrange方程,其表达式如下 其中 T 体系的动能; V 体系的位能,包括应变能及任何保与运动方程的建立 2.2.4 Lagrange方程 Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的守力的势能; Qj与qj相应的广义力。 2.2.4 Lagrange运动方程 算例2两式代入Hamilton原理的变分公式,得 对上式中的第一项进行分部积分 2.2 基本力学原理弹簧应变能 因此能量的变分 非保守所做的功的变分等于非保守力在位移变分上作的功 将以上.8 如图所示一复合摆,摆的杆长分别为l1和l2,摆 的质量分别为m1和m2,忽略杆的分布质量,采用本力学原理与运动方程的建立 用Hamilton原理建立体系的运动方程 体系的动能 位能 Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。 为方 转动弹簧 多自由度体系 动能 位能 2.2 基用来计算 虚功的力和虚位移则都是矢量。 动能集中质量 转动质量 位能拉伸弹簧 便计算体系的动 能,也给出了直角坐 标系,在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。 变分代替。因而对这两项来讲 ,仅涉及处理纯的标量,即能量。 而在虚位移原理中,尽管虚功本身是标量,但amilton原理 Hamilton原理的优点不明显使用惯性力和弹性力,而 分别用对动能和位能的2. 2.4 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例2.8 和 广义坐标q1、力问题 最小势能原理。 2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.3 Hq2 的关系 及其 速度之间的关系如下 2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8上非保守力包括阻尼力及任意外荷载 所做的功; 在指定时间段内所取的变分。 对于静 T 体系的总动能; V 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能; Wnc 作用于体系 体系的动能T 设q1q2 0时是0势能位置,则势能(位能)V 2. 2.4 Lagraton原理在任意时间区段t1, t2内,体系的动能和 位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。nge运动方程 算例2.8 取Lagrange方程中的i1, 2,得到, 假设非保守力,即阻尼学原理与运动方程的建立 2.2.3 Hamilton原理积分形式的动力问题的变分方法 Hamil能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法(原理)。 2.2 基本力力和外力都为零,则Q1Q20, 将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程 可以发现(功)。 变分法是求体系能量(功)的极值。 体系的平衡位置是体系的稳定位置,在稳定位置,体系 的结构体系的运动方程。 在数学上,变分问题就是求泛函的极值问题。 在这里,泛函就是结构体系中的能量以上运动方程公式是高度非线性的。 2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8 复合摆 2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.3 Hamilton原理 可以应用变分法(原理)建立的运动方程 当微幅振荡时,q1、q2很小,忽略高阶小量,运动方程可 化为 这是一线性方程组,可算更简 便。 对如下图所示结构体系,用虚位移原理建立方程更简便一些 基础之上,而虚功是一个标量,可以按代数方式运算 ,因而比DAlembert原理中需要采用的矢量运见只有当微幅摆动时,复合摆的 运动方程才成为线性的。 当m20时,得到单摆的运动方程 2.2本力学原理与运动方程的建立 2.2.2 虚位移原理 虚位移原理的优点虚位移原理是建立在对虚功分析的 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.4 Lagrange方程 应用Lagrange方程方法建立 单质点体系的受力分析 2.2 基件的无限小位移。 设体系发生一个虚位移u,则平衡力系在u上做的总虚功为 体系运动方程 的步骤 1. 建立坐标系,确定广义坐标; 2. 建立广义坐标与物理坐标之间的关系; 系统发生一个虚位移时, 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。 虚位移是指满足体系约束条的建立 可能位移;实位移;虚位移 2.2.2 虚位移原理 虚位移原理在一组外力作用下的平衡3. 写出体系动能和势能的表达式; 4. 代入Lagrange方程写出体系的运动方程。 四种Alembert原理的贡献 建立了动力平衡(简称动平衡)的概念。 2.2 运动方程建立运动方程的方法的特点 DAlembert原理 是一种简单、直观的建立运动方程的方法,得到广泛一定的简化。对很 多问题,DAlembert原理是用于建立运动方程的最直 接、最简便的方法。 D力问题,静力问题中用 来建立控制方程的方法,都可以用于建立动力问题的 平衡方程,使对动力问题的思考有 的应用。DAlembert原理建立了动平衡的概念,使得 在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到理的优点 静力问题是人们所熟悉的,有了DAlembert 原理之后 ,形式上动力问题就变成了静动力问 题。当结构具有分布质量和弹性时,直接应用 DAlembert原理,用动力平衡的方法来建立体 2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.1 DAlembert原理 DAlembert原想的)惯 性力,则在该时刻体系将处于假想的平衡状态(动力平衡)。 单质点体系的受力分析 系的运 动方程可能是困难的。 虚位移原理 部分避免了矢量运算,在获得体系虚功后,可以采用 标量运算rt原理在体系运动的任一瞬时,如果除了实际作用结构 的主动力(包括阻尼力)和约束反力外,再加上(假本力学原理与运动方程的建立 2.2.1 DAlembert原理(直接动力平衡法) DAlembe建立体系的运动方程,简化了运算。 五种建立运动方程的方法的特点 Hamilton原理 是一种建尼系数c 弹簧 弹簧刚度k 两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 2.2 基立运动方程的能量方法积分形式的变分原理 ,如果不考虑非保守力作的功(主要是阻尼力),它 是完全的a 单层框架结构 b 弹簧质点体系 物理元件 质量 集中质量m 阻尼器 阻 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 基本动力体系 两个典型的单自由度体系 标量运算,但实际上直接采用Hamilton原理建 立运动方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它系 SDOF Single-Degree-of-Freedom System 以一个 极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。 Lagrange方程 得到更多的应用,它和Hami系 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量;弹簧;阻尼器。 单自由度体的基本物理量及建立运动方程 的方法,然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的 建立。 基本动力体lton原理一样,除非保守力 (阻尼力)外,是一个完全的标量分析方法,不必直 接分析惯性力和保守力(立是结构动力学的重点和难点 本章首先通过对简单结构体系单自由度体系的讨论介 绍结构动力分析中存在 的数学表达式。(有时也称为动力方程) v运动方程是进行结构动力分析的基础 v运动方程的建主要是弹性恢复力),而惯 性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理 对象。 2.2 基本力原理与运动方程的建立 运动方程 描述结构中力与位移包括速度和加速度关系 学原理与运动方程的建立 4种建立运动方程的方法的特点 运动方程的方法 2.2 基本力学原理与运动 Hamilton原理 Lagrange方程 2.2 基本力学 DAlembert原理 虚位移原理 方程的建立 单自由度体系的运动方程 单自由度系统运动方程反映了结构动力学中将遇到的几 乎所有的物理量 第2章 分析动力学基础及运动方程的建立 2.2 基本力学原理与 运动方程 的建立 1 质量m,和惯性力 2 阻尼c,和阻尼力 3 刚度k,和弹性恢复力 对于多自由可表示为 fs是位移和速度的 非线性函数。 图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系 c System 结构构件的力-变形关系为非线性关系,结构刚度不再为常数。 构件(或弹簧)的恢复力度体系 第2章 分析动力学基础及运动方程的建立 2.3 重力的影响 2.3 重结构动力分析中的最基本力学模型。 2.1 基本概念 2.1.9 非弹性体系 Inelasti弹性体系当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻 尼)的影响时的体系。 力的影响 静平衡位置受动力作用以前结构所处的实际位置 st重力Wmg作用下体系的静位移 m 线弹性体系由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。 最简单的理想化力学模型。 粘记动位移为u 惯性力、阻尼力和 弹性恢复力分别为 Linearly Elastic System and Viscous Elastic Syste正比。 滞变阻尼时滞阻尼复阻尼 2.1 基本概念 2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系 应用DAlembert原理 外荷载为 2.3 重力的影响 考虑重力影响时,结构体系的运动般为常数; 滞变阻尼阻尼力大小与位移成正比相位与速度相同; 流体阻尼阻尼力与质点速度的平方成方程与无重力影响 时的运动方程完全一样,此时u是由动荷载引起的动力 反应。可见在研究结构的动力反应时阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼 摩擦阻尼阻尼力大小与速度大小无关,一为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数,阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性滞,可以完全不考 虑重力的影响,建立体系的运动方程,直接求解动力 荷载作用下的运动方程,即得到结构体系尼系数 c 的确定 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得,因阻尼系数(Damping coefficient) 质点的运动速度 2.1 基本概念 阻的动力解。 当需要考虑重力影响时,结构的总位移为 总位移静力解动力解 即可以应用叠加原理将结构尼。例如,空气、流体等。 粘性滞阻尼力可表示为 D 表示阻尼(Damping) c 的动力反应和静力反应相 加即得到结构的总体反应。 在结构反应问题中,应用叠加原理可将静力问题(一 热耗散; 2结构连接部位的摩擦,结构构件与非结构构件之间的摩擦; 3结构周围外部介质引起的阻幅逐渐变小的一种作用。 阻尼的来源(物理机制) 1固体材料变形时的内摩擦,或材料快速应变引起的般是重力问题)和动力问题分开计算。 2.3 重力的影响 v并不是对任何结构动、静力反应问题都可1 基本概念 2.1.7 阻尼力(Damping Force) 阻尼引起结构能量的耗散,使结构振以这样处理,因 为在以上推导中,假设弹簧的刚度k为常数,即结构是线弹 性的,因此只有对线弹性结构(如水平刚度 h框架结构的高度 L梁的长度 E弹性模量 Ib和Ic梁和柱的截面惯性矩 2.簧的刚度(Spring Stiffness) u 质点位移 2.1 基本概念 单层框架结构的果是二维或三维问题, 还要加上小变形(位移)的限制)才可以使用叠加原理, 将静力、动力问题分开考虑。弹簧变形的乘积 方向指向体系的平衡位置。 s 表示弹簧(Spring) k 弹f Spring) 对弹性体系,弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力大小等于弹簧刚度与位移 v应当注意的是,在以上推导过程中,假设悬挂的弹簧-质点 体系只发生竖向振动,在动荷载作用之前,重力 质点的加速度。 2.1 基本概念 2.1.6 弹簧的恢复力(Resisting Force o被弹簧的 弹性变形所平衡,而施加荷载后,重力始终被弹性变形所 平衡。如果重力的影响没有预先被平衡或 I 表示惯性(Inertial); m 质量(mass); 坐标方向向右为正 物体运动状态的能力。 惯性力大小等于物体的质量与加速度的乘积, 方向与加速度的方向相反。 发生了变化, 则在施加动力荷载产生进一步变形后,可以产生二阶影响 问题,例如P-效应。最简单的例有功的量纲。 2.1 基本概念 2.1.5 惯性力(Inertial Force) 惯性保持子是倒立摆,当倒立摆 产生水平振动后,摆的重力引起的附加弯矩是一个新的量 ,它并没有预先被平衡且随移。 2.1 基本概念 2.1.4 广义力 广义力是标量而非矢量 ,广义力与广义坐标的 乘积具位移 在某一固定时刻,体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移,称为体系的虚位摆角变化,将对体系的动力 反应产生影响,这种影响必然反映到结构的运动方程中。 第2章 分析动位移 如果位移不仅满足约束方程,而且满足运动方程 和初始条件,则称为体系的实位移。 虚.1.3 实位移、可能位移和虚位移 可能位移 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。 实力学基础及运动方程的建立 2.4 地基运动的影响 2.4 地基运动的影响 地基运动问题作的功只取决于 运动的起始点和终点的 相对位置,而与具体的 运动路径无关。 2.1 基本概念 2结构的动力反应不是由直接作用到结构上的动力 引起的,而是由于结构基础的运动引起的。 动能 满足以下性质的力称为 有势力 (1)力的大小和方向只 决定于体系中各质点的 位置; (2)力体系的约束情况有 关。 2.1 基本概念 2.1.2 功和能 q功 q有势力和势能 q ug地基位移,是已知的 u 相对位移,反映结构变形 ut u ug绝对位移。 的动力自由度。 广义坐标必须是相互 独立的参数,其选择 原则是使解题方便。 动力自由度的数目与结 构惯性力 阻尼力 弹性恢复力 外荷载0 应用DAlembert原理 相对运 动力自由度结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中 ,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为结构 积和体积来表示。 静力自由度确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。 动方程 等效荷载 重力 和 地基运动 的影响 以上结合单自由度结构体系给出了不同影响因素下结点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量,也可以用角度甚至面 非弹性体系 2.1 基本概念 2.1.1 广义坐标与动力自由度 广义坐标能决定质构 运动方程的建立方法,虽然例题极为简单,但包含了最 基本的概念和原理。以后会涉及到更复杂的结构体系力 弹簧的恢复力 阻尼力 线弹性体系和粘弹性体系 , 例如结构构造复杂、自由度多,包含连续分布的质量, 地震多方向(多维)和多点(在结构不同的支承处的 功和能 实位移、可能位移和虚位移 广义力 惯性基础及运动方程的建立 2.1 基本概念 广义坐标与动力自由度 地 面运动不一致)输入等等,但灵活应用本章介绍的方法 都可以得到解决。 结构动力学 第 2 章 分析动力学基础及 运动方程的建立 第2章 分析动力学
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