定积分的性质与

第五章定积分(DefiniteIntegrals)在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那也就是...2微积分基本公式练习题P2401,2,5(1)(2),6(1)(6),9(1)一、计算下列积分[ Tag ]

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1、 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 本本 章章 内内 容容 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 第三节第三节 定积分的计算定积分的计算 第四节第四节 广义积分广义积分 第五节第五节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第六节第六节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 第五章第五章 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 本节主要内容本节主要内容 一、定积分的定义一、定积分的定义 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 二、可。

2、机动目录上页下页返回结束=为无理数,为有理数xxxg1,1)(例4、 若 |)(| xf 在 , ba 上可积,问 )(xf 在 , ba 上是否可积。 解:)(xf 在 , ba 上可能可积,也可能不可积。 3、若 )(xf 在 , ba 上可积, )(xg 在 , ba 上不可积,问)()( xgxf + 或 )()( xgxf 在 , ba 上是否也不可积。 机动目录上页下页返回结束)()( xgxf + 在 , ba 上不可积。=为无理数,为有理数xxxg0,1)(显然 )()(1xgxf 在 , ba 上可积, )()(2xgxf 在, ba 上不可积。 例,0)(1=xf ,1)(2=xf解:)()( xgxf 在 , ba 上可能可积也可能不可积, 用反证法即可。解由 )()( xgxf + 。

3、1 主讲教主讲教主讲教主讲教师:师:师: 师: 李晓沛李晓沛李晓沛李晓沛 2 第五章 定积分及其应用 第五章 定积分及其应用 第五章第五章第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用定积分及其应用定积分及其应用 第一节 定积分的概念 第一节 定积分的概念 第一节第一节第一节第一节 定积分的概念定积分的概念定积分的概念定积分的概念 3 怎么求它的面积? 几何图形的面积 怎么求它的面积? 几何图形的面积 一一.问题的提出问题的提出 4 三边为直线,其中有两边相互 平行且与第三边垂直(底边),第四边是一条 曲线,它与垂直于底边的直线。

4、定积分的性质与计算方法摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。关键词:定积分 性质 计算方法定积分的定义设函数f(x) 在区间a,b上连续,将区间a,b分成n个子区间x0,x1, (x1,x2, (x2,x3, , (xn-1,xn,其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:x1=x1-x0, x2=x2-x1, , xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi中任取一点(1,2,.,n),作和式。设=maxx1, x2, , xn(即是最大的区间。

5、要条件 ) 1.4 定积分的性质 补充:不论 的相对位置如何, 上式总成立. x 定积分定义的剖析 三、定积分的几何意义 1.3 定积分的存在条件 定理1.2(可积的充 y o m M 证 积分中值定理的几何解释: 作 业 习 题 3.1 (P26) 1.2 定积分的定义 被积函数 被积表达式 积分上限 积分下限 积分变量 积分和 2.” (4)取极限 (1)分割 2变速直线。

6、DDY整理1.曲边梯形的面积 设在区间 上 ,则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形,下面求这个曲边梯形的面积分割求近似:在区间 中任意插入若干个分点将 分成n个小区间,小区间的长度 在每个小区间 上任取一点 作乘积 , 求和取极限:则面积 取极限其中 ,即小区间长度最大者趋于零。2. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动,速度 是 上 的连续函数,且 ,求在这段时间内物体所经过的路程。分割求近似:在 内插入若干分点 将其分成n个小区间 ,小区间长度 , 。任取 ,做 求和取极限:则路程 取极限定义 设函数 在 上有界。

7、1 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中,假定定积分都存在 ,且不考虑积分上下限的大小 一、定积分的性质 Basic Properties of Definite Integrals 2 证 3 证 (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质2(1) 4 证 性质2(2) 5 补充:不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 (定积分对于积分区间具有可加性) 则 性质3 6 证 性质4 性质5 7 解令 于是 8 性质5的推论: 证 (1) 9 证 说明: 可积性是显然的. 性质5的推论: (2) 10 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围) 性质6 11 解 12 解 13 14 证 由闭区间上连续函数的。

8、1 第4章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 分思想先于微分的生。“无限分,无限求和”的 分思想,在古代就已萌牙。最早可以追溯到希腊由阿 基米德(Archimedes ,287 BC212 BC)等人提出的算面 和体的方法。后来也逐步得到了一系列求面(分 )、求切斜率(数)的重要果,但些果都是孤 立的,不 的。只有莱布尼和牛将分和微分真正 沟通起来,明确地找到了两者内在的直接系,确立微分和 分是互逆的两种运算是微分建立的关所在莱 布尼立了分 些符号一步促了微分 学的展,并一直沿用至今。 背 景 3 1.曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的。

9、山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b 上非负、连续. 由直线xa、xb、 y0及曲线yf (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积? a bx y o y=f(x) x=bx=a 在初等函数里面。

10、DDY 整理 1. 曲边梯形的面积 设在区间 上 ,则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形,下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似:在区间 中任意插入若干个分点将 分成 n 个小区间 ,小区间的长度 在每个小区间 上任取一点 作乘积 , 求和取极限:则面积 取极限 DDY 整理 其中 ,即小区间长度最大者趋于零。 2. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动,速度 是 上 的连续函数,且 ,求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似:在 内插入若干分点 将其分成 n 个小区间 ,小区间长度 , 。任取 , 做 求和取极限:则路程 取极。

11、积分学 不定积分 定积分 第六章 定积分 本章重点: 定积分的概念与性质; 定积分的基本定理;(定积分与不定积分的纽带 ) (牛顿-莱布尼兹公式) 定积分的基本积分方法及应用 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 四、 定积分的性质 6.21 定积分的概念及性质 三、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的相反数 三、定积分的几何意义 a b a1a2a3 性质 6.1 性质 6.2 四、定积分的基本性质 性质 6.3 推论 6.1 推论 6.2 性质 6.4 性质 6.5 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 0,1 n 等分, 分点为 取 例2 解 作业: P155 2(1)(4), 3 (2)(4)。

12、 17 4 定积分的性质4 定积分的性质 教学目的与教学要求:教学目的与教学要求:理解定积分的运算性质;熟练掌握定积分的不等式 性质和积分中值定理,并掌握它们的应用; 教学重点:教学重点:定积分的不等式性质和积分中值定理; 教学难点:教学难点:可积函数乘积的可积性的证明;定积分的不等式性质和积分中 值定理的应用; 教学措施:教学措施:可积函数乘积的可积性的证明以可积准则为工具;定积分的不 等式性质和积分中值定理的应用引导学生认真分析问题的条件和结论; 教学时数:教学时数:3 一一 定积分的基本性质定积分的基本性质 。

13、: (1) (2) 法 练习题P249 1.(1)(8),2,11(1)(6) 一、 计算下列积分 (3) (何值时,函数有极值? 3定积分的换元法和分部积分4) 二、设上连续,证明:. a,b)内有. 三、当x为 三、证明. 四、 计算下列积分: (1); 。

14、 2微积分基本公式 练习题P240 1,2,5(1) (2),6 (1)(6),9(1) 一、 计算下列积分: (1)= (2) (3) (4) (5) 二、设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导且,证明:在( 三、估计积分的值 a,b)内有. 三、当x为何值时,函数有极值? 。

15、第五章 定积分 (Definite Integrals) 在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半 叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。 如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一 的功绩,那也就是正是在这里。 恩格斯 Date1 七 思考题与判断题 二 定积分的定义 一 问题的提出 四 定积分的几何意义 六 小结、思想方法 第一节 定积分的概念 (Concept of Definite Integrals) 三 定积分存在的两个充分条件 五 定积分的性质 Date2 a b x y o 1 面积问题(Area Problem) 一 问题的提出(Introduction) 我们有两个问题要解决,一个是给出面。

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